Sau khi so sánh đáp án, Y Thành phát hiện cả hai người có kết quả hoàn toàn nhất trí.

Chỉ khác ở phương pháp giải đề mà thôi.

Không ngoài dự đoán, chắc hẳn cả hai sẽ đạt điểm tuyệt đối.

Rõ ràng điều này không thể phân định thắng thua, chỉ có thể kỳ vọng hai bài thi sau sẽ tạo ra một chút chênh lệch.

Đúng 9 giờ 40 phút, kỳ thi thứ hai chính thức bắt đầu.

Đề thi lần này có thể nói là đơn giản đến thô bạo, tổng cộng chỉ có bốn câu hỏi giải đáp hoặc chứng minh.

Thang điểm cũng cực kỳ cao:

Hai câu hỏi đầu mỗi câu 40 điểm, hai câu hỏi sau mỗi câu 50 điểm, tổng điểm tối đa của toàn bài là 180 điểm.

Một số học sinh lần đầu tham gia kỳ thi liên cấp cao, khi nhìn thấy thang điểm như vậy đã sợ hãi đến mức tay cầm bút cũng bắt đầu run rẩy.

"Trời ơi... một câu đã 40 điểm, sai một chút là mất hết."

"Trước nay chưa từng thấy thang điểm nào khoa trương đến vậy."

...

Y Thành hít sâu, trấn tĩnh tinh thần, lật đề thi ra.

"Trời ơi, đây là cái quái gì thế này?"

Một thiếu niên bên cạnh khẽ kêu lên.

"Trong phòng thi giữ trật tự." Giám thị nhắc nhở.

Cũng không trách cậu ta than thở, bởi vì có rất nhiều người cũng đang ngơ ngác và bất mãn như vậy.

Chẳng qua là những người khác không biểu lộ ra ngoài mà thôi.

Câu hỏi thứ nhất có nội dung như sau:

【 Ngựa là vậy, nên có tên gọi hình thể; trắng là vậy, nên có tên gọi màu sắc. Cái gọi hình thể không phải cái gọi màu sắc. Vậy nên nói: Bạch mã không phải ngựa. Cầu ngựa, ngựa vàng ngựa đen đều có thể được. Cầu bạch mã, ngựa vàng ngựa đen không thể được... Bởi vậy, ngựa vàng ngựa đen là một loại, có thể có ngựa nhưng không thể có bạch mã, đó là vì bạch mã không phải ngựa thật vậy. Ngựa, không xét về màu sắc, nên vàng đen đều được chấp nhận. Bạch mã thì phải xét về màu sắc, ngựa vàng ngựa đen đều là màu khác, nên chỉ có bạch mã mới có thể được chấp nhận mà thôi. Cái không xét đến thì không phải cái có xét đến. Vậy nên nói: Bạch mã không phải ngựa. Ngựa vốn có màu sắc, nên vốn có bạch mã. Nếu ngựa không màu, thì ngựa chỉ là ngựa mà thôi. Làm sao có bạch mã? Cho nên cái trắng, không phải ngựa. Bạch mã là ngựa cùng với trắng, trắng cùng với ngựa. Vậy nên nói: Bạch mã không phải ngựa.

(1) Hãy chứng minh: Bạch mã không phải ngựa (5 điểm)

(2) Nếu có một con ngựa, nó tìm kiếm thức ăn cho tất cả những con ngựa [không tự mình tìm thức ăn], hãy chứng minh: Này Mã Phi này ngựa, đồng thời nêu ví dụ giải thích tình huống 'Này Mã Phi này ngựa' tồn tại (35 điểm) ��

Y Thành không khỏi khẽ thở dài một tiếng.

Giờ đây, ngữ văn không giỏi thì đến đề toán cũng không giải được.

Đây là một điển cố về biện sĩ Công Tôn Long thời cổ đại:

Có một lần, Công Tôn Long đi qua cửa khẩu, quan lại nói: "Theo lệ cũ, người thì được qua, nhưng ngựa thì không." Công Tôn Long liền thẳng thắn nói rằng ngựa không phải ngựa, sau một hồi luận chứng, quan lại nghe xong gật đầu lia lịa, nói: "Ngươi nói rất có lý, mời ngươi trả tiền cho ngựa đi."

Đề thi này, chính là yêu cầu bạn dùng ngôn ngữ toán học để diễn giải văn ngôn đó, đồng thời chứng minh 【 bạch mã không phải ngựa 】.

Có thể nói những lời dẫn phía trên đều chỉ là một phần, muốn nói hữu ích thì cũng có chút tác dụng, muốn nói vô dụng thì cũng không phải hoàn toàn vô dụng.

Chỉ có thể nói người ra đề là một kẻ cuồng nhiệt yêu thích văn hóa cổ đại.

Câu hỏi thứ nhất rõ ràng là một câu "cho điểm".

Y Thành lắc đầu, bắt đầu chứng minh:

Giả sử ngựa là tập hợp A, bạch mã là phần tử B.

Khi đó, B∈A.

Tuy nhiên, B ≠ A (tức phần tử B không đồng nhất với tập hợp A).

Nói cách khác, Công Tôn Long trước tiên cần phải định nghĩa rõ ràng mối quan hệ giữa hai đối tượng này mới có thể thảo luận về kết quả.

Nếu theo tình huống thứ nhất, B∈A, và ta xem xét 'bạch mã' như một phần tử của tập hợp 'ngựa', thì việc kết luận 'bạch mã không phải ngựa' sẽ là một mệnh đề sai.

Nếu theo tình huống thứ hai, B ≠ A, và ta xem xét 'bạch mã' như một khái niệm riêng biệt, không đồng nhất với tập hợp 'ngựa', thì 'bạch mã không phải ngựa' lại là một mệnh đề đúng.

Sau khi thuận lợi hoàn thành câu hỏi đầu tiên, khi chuyển sang câu thứ hai, Y Thành lập tức hoa mắt chóng mặt.

Này Mã Phi này ngựa.

Không thể nào chứ?

Câu hỏi này rõ ràng không nên xuất hiện ở đây.

Bởi vì đây là một bài toán về nghịch lý Russell điển hình.

Thế nào là nghịch lý Russell?

Đây là một câu chuyện đáng sợ đã gây ra sóng gió lớn trong giới toán học, đến nay vẫn chưa có lời giải đáp hoàn chỉnh:

Nhà toán học người Đức Cantor đã sáng lập ra thuyết tập hợp nổi tiếng, biến nó thành nền tảng của toán học hiện đại. Phát hiện rằng "Mọi thành quả toán học đều có thể xây dựng trên nền tảng của thuyết tập hợp" đã khiến giới toán học say mê.

Năm 1903, một tin tức chấn động giới toán học được truyền ra: Thuyết tập hợp có lỗ hổng! Đây chính là nghịch lý Russell nổi tiếng do nhà toán học người Anh Russell đưa ra.

Russell đã đưa ra một ví dụ vô cùng dễ hiểu để minh họa lỗ hổng này trong thuyết tập hợp:

Tại một thành phố nọ có một vị thợ cắt tóc, ông ta chỉ cạo râu cho những người [không tự cạo râu cho chính mình].

Nhưng một ngày nọ, vị thợ cắt tóc này nhìn thấy râu mình đã dài trong gương, ông ta liền theo bản năng cầm dao cạo lên.

Vậy thì, người thợ cắt tóc này rốt cuộc có nên tự cạo râu cho mình hay không? 】

Nghịch lý này rõ ràng.

Nếu như ông ta tự cạo râu cho mình, thì ông ta đã vi phạm nguyên tắc chỉ cạo râu cho những người không tự cạo râu cho chính mình.

Nếu như ông ta không tự cạo râu cho mình, thì ông ta lại phải cạo râu cho [những người không tự cạo râu cho mình], mà ông ta lại chính là một trong số đó.

Đây chính là điểm mâu thuẫn.

Nghịch lý này đã gây ra cuộc khủng ho���ng thứ ba trong lịch sử toán học.

Nếu yêu cầu học sinh ở trình độ này tiến hành chứng minh điều đó thì quả thật quá làm khó người rồi.

Do đó, Y Thành cho rằng đề thi này không nên xuất hiện ở đây.

Xong đời rồi.

Câu hỏi đầu tiên đã khó như vậy, kỳ thi liên cấp cao lần này rõ ràng là không muốn ai vượt qua mà.

"Thầy ơi!"

Đúng lúc này, một học sinh trong phòng học giơ tay phải lên.

Thầy giám thị quay lại.

"Sao vậy?"

"Đề thi này có lỗi." Học sinh đó rất kiên quyết nói.

Tất cả mọi người đồng loạt ngẩng đầu nhìn cô bé.

Học sinh này chính là Nhan Tư Kỳ, người ngồi cùng bàn với Y Thành.

Rất rõ ràng cô bé cũng đã phát hiện đề thi vượt quá chương trình.

"Câu hỏi thứ hai của đề số một, rõ ràng là một bài toán về nghịch lý Russell. Đề thi này rõ ràng đã vượt quá chương trình, ngay cả những nhà toán học hàng đầu hiện nay cũng không thể giải đáp hoàn hảo nghịch lý Russell, nó không nên xuất hiện ở đây." Nhan Tư Kỳ nói một cách rành rọt, đanh thép.

Cô bé là người đạt huy chương vàng Olympic Toán năm ngoái, là học sinh giỏi toán nhất khối của trường, là niềm tự hào toán học của tỉnh, và là một trong những nhân tài toán học trọng điểm được quốc gia bồi dưỡng trong tương lai.

Cô bé có tư cách để đưa ra chất vấn.

Thầy giám thị bước tới, nhìn qua bài thi của Nhan Tư Kỳ.

Sau đó thầy lại cẩn thận xem lại đề thi.

Thầy giám thị nhìn khoảng nửa phút, rồi quay người lại, đối mặt với tất cả thí sinh trong phòng học, lạnh nhạt nói: "Đề này không có lỗi, mọi người tiếp tục làm bài đi."

...

Không thể nào chứ.

Nhan Tư Kỳ và Y Thành đồng loạt im lặng.

Còn những người khác, căn bản không hiểu Nhan Tư Kỳ vừa nói gì, dù cho có hiểu thì họ cũng không biết phải làm thế nào.

Một bộ phận thí sinh đã từ bỏ câu hỏi phụ thứ hai, bắt đầu lật sang các câu hỏi sau.

Theo lời dặn dò ân cần của giáo viên, không nên sa đà vào một câu hỏi khó, hãy tạm bỏ qua nó, giải quyết hết những câu dễ rồi quay lại.

Kết quả là –

Càng về sau thì càng không biết làm.

"Trời ơi, đề này ai ra vậy?!"

"Đây đã là đề Olympic Toán rồi sao?"

"Không, đã vượt xa đề Olympic Toán rồi thì đúng hơn?!"

Chỉ có một vài người ít ỏi vẫn kiên nhẫn giải bài.

Trong đó bao gồm cả Y Thành và Nhan Tư Kỳ.

Họ vẫn chưa có ý định từ bỏ.

Y Thành vẫn bế tắc, không tìm ra cách giải, cho đến khi cậu nhìn thấy hai chữ phía trước câu hỏi thứ hai:

【 Chứng minh. 】

Nói cách khác, đây là một điều không cần chứng minh, hoặc không thể chứng minh.

Bạn chỉ cần thông qua ngôn ngữ toán học để miêu tả tư duy chứng minh là được.

Còn việc có chứng minh được hay không lại không phải trọng điểm của câu hỏi này.

Phần nêu ví dụ phía sau mới là trọng điểm, nhằm khảo sát mức độ bạn hiểu về nghịch lý.

Để giải quyết nghịch lý Russell, ngay cả những nhà toán học hàng đầu cũng đành phải tránh né.

Tuy nhiên, để thông qua ngôn ngữ toán học thông thường miêu tả nghịch lý Russell, đây lại là việc mà học sinh cấp hai cũng có thể làm được.

Khóe miệng Y Thành khẽ nhếch lên, nở một nụ cười nhẹ nhõm.

Một khi đã nghĩ thông suốt mối quan hệ này, mọi thứ đều trở nên đơn giản.

Cậu nâng bút viết:

Giả sử tính chất P(x) biểu thị "x không thuộc về x". Giả sử một tập hợp A được xác định bởi tính chất P. Nói c��ch khác, "A = {x | x ∉ x}". Đầu tiên, nếu A thuộc về A, thì A có tính chất P. Mà theo định nghĩa của tính chất P, A không thuộc về A. Tiếp theo, nếu A không thuộc về A, tức A có tính chất P. Mà A được tạo thành từ tất cả các tập hợp có tính chất P, vậy thì A phải thuộc về A.

...

Tốt, mạch tư duy chứng minh đã viết xong, tiếp theo là nêu ví dụ:

Y Thành viết vào bài thi:

"Câu nói này là sai."

40 điểm đã nằm gọn trong tay.

Bản chuyển ngữ này thuộc quyền sở hữu của truyen.free, như một cây cầu nối đưa câu chuyện đến gần hơn với độc giả.